若函数f（x）对于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．且f(1)=19，给出如下命题：①f（0）=0；②对于任意的x，都有f（2x）=2f（x）；③f（x）是奇函数；④对任意的x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）；⑤函-数学试题及答案

1、试题题目：若函数f（x）对于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．且f(1)=19，给..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-19 07:30:00

试题原文

若函数f（x）对于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．且f( 1 )=

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，给出如下命题：
①f（0）=0；②对于任意的x，都有f（2x）=2f（x）；③f（x）是奇函数；④对任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂）；⑤函数f（x）的值域也是R．你认为正确命题的序号有（　　）

A．①②③

B．①②③④

C．①②③⑤

D．①②③④⑤

试题来源：不详试题题型：单选题试题难度：偏易适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

①∵f（x+y）=f（x）+f（y）对于任意x，y∈R都成立．
令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0）
解得f（0）=0；
②令y=x，代入已知条件f（x+y）=f（x）+f（y）?f（2x）=2f（x）；
③函数f（x）是R上的奇函数．
证明：令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）是R上的奇函数．
④∵f( 1 )=

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，f（x+y）=f（x）+f（y）
∴所有的正数都可以用f( 1 )=

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表示出来，且在（0，+∞）上是增函数
所以④⑤都成立．
故①②③④⑤都成立．
故选D．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“若函数f（x）对于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．且f(1)=19，给..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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