已知定点A（1，0），定直线l：x=5，动点M（x，y）（1）若M到点A的距离与M到直线l的距离之比为55，试求M的轨迹曲线C1的方程；（2）若曲线C2是以C1的焦点为顶点，且以C1的顶点为焦点，试-数学试题及答案

1、试题题目：已知定点A（1，0），定直线l：x=5，动点M（x，y）（1）若M到点A的距离与..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

已知定点A（1，0），定直线l：x=5，动点M（x，y）
（1）若M到点A的距离与M到直线l的距离之比为

5

，试求M的轨迹曲线C₁的方程；
（2）若曲线C₂是以C₁的焦点为顶点，且以C₁的顶点为焦点，试求曲线C₂的方程；
（3）是否存在过点F（

5

，0）的直线m，使其与曲线C₂交得弦|PQ|长度为8呢？若存在，则求出直线m的方程；若不存在，试说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵定点A（1，0），定直线l：x=5，动点M（x，y），
M到点A的距离与M到直线l的距离之比为

5

，
∴根据椭圆定义：M的轨迹为椭圆，
其中c=1，e=

c

a

=

5

，
∴a=

5

∴b=

5-1

=2
∴则C₁轨迹方程为：

x2

5

+

y2

4

=1．
（2）∵C₁轨迹方程为：

x2

5

+

y2

4

=1，
∴C₁的焦点为：（1，0），（-1，0），C₁的顶点为：（

5

，0），（-

5

，0）
由题意可知：C₂为双曲线
则a′=1，c'=

5

，
则b′=

5-1

=2，
∴C₂轨迹方程为：x²-

y2

4

=1．
（3）当直线m的斜率不存在时，m的方程为：x=

5

，
它与C₂：x²-

y2

4

=1交于P（

5

，-4）和Q（

5

，4），得到得弦|PQ|=8．
当直线m的斜率存在时，m的方程为y=k（x-

5

），
联立方程组

5y=k(x-

5

)

x2-

y2

4

=1

，消去y，
整理得(4-k2)x2+2

5

k2x-5k2-4=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=

2

5

k2

k2-4

，x1x2=

4+5k2

k2-1

，
∵弦|PQ|长度为8，∴

(1+k2)[(

2

5

k2

k2-4

)2-

16+20k2

k2-4

]

=8，
解得k=±

6

2

，
∴直线m的方程为x=

5

或y=±

6

2

（x-

5

）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定点A（1，0），定直线l：x=5，动点M（x，y）（1）若M到点A的距离与..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

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