已知点（x，y）在椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的第一象限上运动．（Ⅰ）求点(yx，xy)的轨迹C1的方程；（Ⅱ）若把轨迹C1的方程表达式记为y=f（x），且在(0，33)内y=f（x）有最大值，试求椭圆C-数学试题及答案

1、试题题目：已知点（x，y）在椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的第一象限上运..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

已知点（x，y）在椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的第一象限上运动．
（Ⅰ）求点(

y

x

，xy)的轨迹C₁的方程；
（Ⅱ）若把轨迹C₁的方程表达式记为y=f（x），且在(0，

3

)内y=f（x）有最大值，试求椭圆C的离心率的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设点（x₀，y₀）是轨迹C₁上的动点，∴

x0=

y

x

y0=xy.

（2分）
∴x₀y₀=y²，

y0

x0

=x2．
∵点（x，y）在椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的第一象限上运动，则x₀＞0，y₀＞0．
∴

y0

a2x0

+

x0y0

b2

=1．
故所求的轨迹C₁方程是

y

a2x

+

xy

b2

=1（x＞0，y＞0）．（6分）
（Ⅱ）由轨迹C₁方程是

y

a2x

+

xy

b2

=1（x＞0，y＞0），得y=

a2b2x

b2+a2x2

（x＞0）．
∴f(x)=

a2b2x

b2+a2x2

=

a2b2

b2

x

+a2x

≤

a2b2

2

b2

x

?a2x

=

ab

2

．
所以，当且仅当

b2

x

=a2x，即x=

b

a

时，f（x）有最大值．（10分）
如果在开区间(0，

3

)内y=f（x）有最大值，只有

b

a

＜

3

．（12分）
此时，

b2

a2

＜

1

3

?

a2-c2

a2

＜

1

3

，解得

6

3

＜e＜1．
∴椭圆C的离心率的取值范围是(

6

3

， 1)．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知点（x，y）在椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的第一象限上运..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

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