已知曲线C的方程为x2+ay2=1（a∈R）．（1）讨论曲线C所表示的轨迹形状；（2）若a≠-1时，直线y=x-1与曲线C相交于两点M，N，且|MN|=2，求曲线C的方程．-数学试题及答案

1、试题题目：已知曲线C的方程为x2+ay2=1（a∈R）．（1）讨论曲线C所表示的轨迹形状；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

已知曲线C的方程为x²+ay²=1（a∈R）．
（1）讨论曲线C所表示的轨迹形状；
（2）若a≠-1时，直线y=x-1与曲线C相交于两点M，N，且|MN|=

2

，求曲线C的方程．

试题来源：嘉定区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a＜0时，曲线C的轨迹是焦点在x轴上的双曲线；…（1分）
当a=0时，曲线C的轨迹是两条平行的直线x=1和x=-1；…（1分）
当0＜a＜1时，曲线C的轨迹是焦点在y轴上的椭圆；  …（1分）
当a=1时，曲线C的轨迹是圆 x²+y²=1；          …（1分）
当a＞1时，曲线C的轨迹是焦点在x轴上的椭圆．      …（1分）
（2）由

y=x-1

x2+ay2=1

，得（a+1）x²-2ax+a-1=0…①…（2分）
因为a≠-1，所以方程①为一元二次方程，△=4a²-4（a+1）（a-1）=4＞0，所以直线l与曲线C必有两个交点． …（1分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁，x₂为方程①的两根，所以x₁+x₂=

2a

a+1

，x₁x₂=

a-1

a+1

，…（1分）
所以|MN|=

2

|x₁-x₂|=

2

×

(

2a

a+1

)2-4×

a-1

a+1

=

2

，…（2分）
所以a²+2a-3=0，解得a=1或a=-3． …（2分）
因此曲线C的方程为x²+y²=1或x²-3y²=1． …（1分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知曲线C的方程为x2+ay2=1（a∈R）．（1）讨论曲线C所表示的轨迹形状；..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

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