已知椭圆E中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率e=23，过点C（-1，0）的直线l与椭圆E相交于A、B两点，且满足AC=2CB．（Ⅰ）用直线l的斜率k（k≠0）表示△OAB的面积；（Ⅱ）当△OAB的面积最大-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆E中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率e=23，过点C（-1，0..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

已知椭圆E中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率e=

2

3

，过点C（-1，0）的直线l与椭圆E相交于A、B两点，且满足

AC

=2

CB

．
（Ⅰ）用直线l的斜率k（k≠0）表示△OAB的面积；
（Ⅱ）当△OAB的面积最大时，求椭圆E的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），直线的方程为y=k（x+1）
由e=

c

a

=

2

3

∴a²=3b²
故椭圆方程x²+3y²=3b² …（1分）
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）），由

AC

=2

CB

，
得（-1-x₁，-y₁）=2（x₂+1，y₂）
可得

x1+1=-2(x2+1) …①

y1=-2y2 …②

…（2分）
由

x2+3y2=3b2

y=k(x+1)

消去y整理（1+3k²）x²+6k²x+3（k²-b²）=0（3分）

由直线l与椭圆E相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点
∴

△=36k4-4(3k2+1)(3k2-3b2)＞0 …③

x1+x2=-

6k2

3k2+1

…④

x1x2=

3k2-3b2

3k2+1

…⑤

…（4分）
而S△OAB=

1

2

|y₁-y₂|=

1

2

|-2y₂-y₂|=

3

2

|y₂|=

3

2

|k（x₂+1）|⑥…（6分）
由①④得：x₂+1=-

2

3k2+1

，代入⑥得：S△OAB=

3|k|

3k2+1

(k≠0) …（7分）
（Ⅱ）因S△OAB=

3|k|

3k2+1

=

3

3|k|+

1

|k|

≤

3

2

3

=

3

2

，…（8分）
当且仅当k=±

3

，S△OAB取得最大值，…（9分）
此时x₁+x₂=-1，又由①得

x1+2x2

3

=-1
∴x₁=1，x₂=-2 …（10分）
将x₁，x₂及k²=

1

3

代入⑤得3b²=5，满足△＞0 …（11分）
∴椭圆方程为x²+3y²=5 …（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆E中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率e=23，过点C（-1，0..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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