设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．（1）确定λ的取值范围，并求直线AB的方程；（2）求以线段CD的中点M为圆心且与-数学试题及答案

1、试题题目：设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段A..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

设A、B是椭圆3x²+y²=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．
（1）确定λ的取值范围，并求直线AB的方程；
（2）求以线段CD的中点M为圆心且与直线AB相切的圆的方程．

试题来源：赤峰模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）依题意，显然直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程为 y=k（x-1）+3，
代入椭圆3x²+y²=λ，整理得（k²+3 ） x²-2k（k-3）x+（k-3）²-λ=0 ①
设 A （ x₁，y₁ ），B （x₂，y₂ ），则 x₁，x₂ 是方程①的两个不同的根，
∴△=4k² （k-3）²-4 （k²+3 ）[（k-3）²-λ]＞0 ②，且 x₁+x₂=

2k(k-3)

k2+3

．
由N（1，3）是线段AB的中点，得

x1 +x2

2

=1，∴k（k-3）=k²+3，∴k=-1．
代和②得 λ＞12，即 λ 的取值范围是（12，+∞），于是直线AB的方程为 y-3=-（x-1），
即 x+y-4=0．
（2）∵CD垂直平分线段AB，∴直线CD的方程为 y-3=x-1，即 x-y+2=0，
代入椭圆方程，整理得 4x²+4x+4-λ=0 ③．
设 C（x₃，y₃ ），D （x₄，y₄ ），CD的中点为 M（x₀，y₀ ），则 x₃，x₄ 是方程③的两根，
∴x₃+x₄=-1，∴x₀=

x1 +x2

2

=-

1

2

，y₀=x₀+1=

3

2

，即 M（-

1

2

，

3

2

）．
又 M（-

1

2

，

3

2

）到直线AB的距离 d=

|-

1

2

+

3

2

-4|

2

=

3

2

，
故所求圆的方程为 (x+

1

2

)2+(y-

3

2

)2=

9

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段A..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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