已知f（x）=a2x-12x3，x∈（-2，2）为正常数．（1）可以证明：定理“若a、b∈R*，则a+b2≥ab（当且仅当a=b时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）；（2）若-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=a2x-12x3，x∈（-2，2）为正常数．（1）可以证明：定理“若a、b..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-06 07:30:00

试题原文

已知f（x）=a²x-

1

2

x³，x∈（-2，2）为正常数．
（1）可以证明：定理“若a、b∈R^*，则

a+b

2

≥

ab

（当且仅当a=b时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）；
（2）若f（x）＞0在（0，2）上恒成立，且函数f（x）的最大值大于1，求实数a的取值范围，并由此猜测y=f（x）的单调性（无需证明）；
（3）对满足（2）的条件的一个常数a，设x=x₁时，f（x）取得最大值．试构造一个定义在D={x|x＞-2，且x≠4k-2，k∈N}上的函数g（x），使当x∈（-2，2）时，g（x）=f（x），当x∈D时，g（x）取得最大值的自变量的值构成以x₁为首项的等差数列．

试题来源：松江区模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：基本不等式及其应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）若a、b、c∈R⁺，则

a+b+c

3

≥

3	abc

（当且仅当a=b=c时取等号）．
（2）f（x）=ax²-

1

2

x3=x(a2-

1

2

x2)＞0在（0，2）上恒成立，
即a²＞

1

2

x2在（0，2）上恒成立，
∵

1

2

x2∈（0，2），∴a²≥2，即a≥

2

，
又∵[f(x)]2=x2(a2-

1

2

x2)(a2-

1

2

x2)≤[

x2+(a2-

1

2

x2)+(a2-

1

2

x2)

3

]3=(

2a2

3

)3
∴x²=a²-

1

2

x2，即x=

6

3

a时，
f_max=

2

6

9

a3＞1?a3＞

2

6

9

=

3

6

4

=(

6

2

)3?a＞

6

2

，
又∵x=

6

3

a∈（0，2），∴a∈(0，

6

)．综上，得a∈[

2

，

6

)．
易知，f（x）是奇函数，∵x=

6

3

a时，函数有最大值，∴x=-

6

3

a时，函数有最小值．
故猜测：x∈(-2，-

6

3

a]∪ [

6

3

a，2)时，f（x）单调递减；x∈[-

6

3

a，

6

3

a]时，f（x）单调递增．
（3）依题意，只需构造以4为周期的周期函数即可．
如对x∈（4k-2，4k+2），k∈N，x-4k∈（-2，2），此时g（x）=g（x-4k）=f（x-4k），
即g（x）=a²（x-4k）-

1

2

(x- 4k)3，x∈（4k-2，4k+2）．k∈N．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=a2x-12x3，x∈（-2，2）为正常数．（1）可以证明：定理“若a、b..”的主要目的是检查您对于考点“高中基本不等式及其应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中基本不等式及其应用”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：