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1、试题题目:已知a,b,x,y均为正数,且a≠b.(Ⅰ)求证:(a2x+b2y)(x+y)≥(a+b)2,..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2016-01-06 07:30:00

试题原文

已知a,b,x,y均为正数,且a≠b.
(Ⅰ)求证:(
a2
x
+
b2
y
)(x+y)≥(a+b)2,并指出“=”成立的条件;
(Ⅱ)求函数f(x)=
3
x2
+
9
1-3x2
(0<x<
1
3
)的最小值,并指出取最小值时x的值.

  试题来源:不详   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:基本不等式及其应用



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(Ⅰ)∵(
a2
x
+
b2
y
)(x+y)=a2+
ya2
x
+
xb2
y
+b2=a2+b2+(
ya2
x
+
xb2
y

≥a2+b2+2
ya2
x
?
xb2
y
=a2+b2+ab=(a+b)2,当且仅当ay=bx时取等号.

(II)∵f(x)=
3
x2
+
9
1-3x2
=
9
3x2
+
9
1-3x2
=(
9
3x2
+
9
1-3x2
)(3x2+1-3x2
由(I)知,上式≥(3+3)2=36,当且仅当3x2=1-3x2即x2=
1
6
时等号成立,
∴函数f(x)=
3
x2
+
9
1-3x2
(0<x<
1
3
)的最小值36,取最小值时x的值为
6
6
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知a,b,x,y均为正数,且a≠b.(Ⅰ)求证:(a2x+b2y)(x+y)≥(a+b)2,..”的主要目的是检查您对于考点“高中基本不等式及其应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中基本不等式及其应用”。


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