在数列{an}中，已知a1=1，an+1=an1+2an(n∈N+)．（1）求a2，a3，a4，并由此猜想数列{an}的通项公式an的表达式；（2）用适当的方法证明你的猜想．-数学试题及答案

1、试题题目：在数列{an}中，已知a1=1，an+1=an1+2an(n∈N+)．（1）求a2，a3，a4，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

在数列{a_n}中，已知a1=1，an+1=

an

1+2an

(n∈N+)．
（1）求a₂，a₃，a₄，并由此猜想数列{a_n}的通项公式a_n的表达式；
（2）用适当的方法证明你的猜想．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵a1=1，an+1=

an

1+2an

(n∈N+)．
∴a2=

1

1+2

=

1

3

…．（1分）
a3=

1

3

1+

2

3

=

1

5

…（2分）
a4=

1

5

1+

2

5

=

1

7

…（3分）
由此猜想数列{a_n}的通项公式an=

1

2n-1

(n∈N+)…..（5分）
（2）下面用数学归纳法证明
①当n=1时，a1=

1

2×1-1

=1，猜想成立…..（6分）
②假设当n=k（k∈N⁺，k≥1）猜想成立，即ak=

1

2k-1

…．（7分）
∵an+1=

an

1+2an

(n∈N+)．…（8分）
∴ak+1=

ak

1+2ak

=

1

2k-1

1+

2

2k-1

=

1

2k+1

…（12分）
即当n=k+1时猜想也成立…..（13分）
根据①和②，可知猜想对任何n∈N⁺都成立…..（14分）
（用其他方法正确证明也给分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在数列{an}中，已知a1=1，an+1=an1+2an(n∈N+)．（1）求a2，a3，a4，..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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