是否存在常数a、b、c使等式1?（n2-12）+2（n2-22）+…+n（n2-n2）=an4+bn2+c对一切正整数n成立？证明你的结论．-数学试题及答案

1、试题题目：是否存在常数a、b、c使等式1?（n2-12）+2（n2-22）+…+n（n2-n2）=an4+b..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

是否存在常数a、b、c使等式1?（n²-1²）+2（n²-2²）+…+n（n²-n²）=an⁴+bn²+c对一切正整数n成立？证明你的结论．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法证明不等式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

分别用n=1，2，3代入解方程组

a+b+c=0

16a+4b+c=3

81a+9b+c=18

?

a=

1

4

b=-

1

4

c=0.

下面用数学归纳法证明．
（1）当n=1时，由上可知等式成立；
（2）假设当n=k时，等式成立，
则当n=k+1时，左边=1?[（k+1）²-1²]+2[（k+1）²-2²]+…+k[（k+1）²-k²]+（k+1）[（k+1）²-（k+1）²]
=1?（k²-1²）+2（k²-2²）++k（k²-k²）+1?（2k+1）+2（2k+1）+…+k（2k+1）
=

1

4

k⁴+（-

1

4

）k²+（2k+1）+2（2k+1）++k（2k+1）
=

1

4

（k+1）⁴-

1

4

（k+1）²．
∴当n=k+1时，等式成立．
由（1）（2）得等式对一切的n∈N*均成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“是否存在常数a、b、c使等式1?（n2-12）+2（n2-22）+…+n（n2-n2）=an4+b..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法证明不等式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法证明不等式”。

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