如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为线段AD1上的点，且满足D1P=λPA(λ＞0)．（Ⅰ）当λ=1时，求证：平面ABC1D1⊥平面PDB；（Ⅱ）试证无论λ为何值，三棱锥D-PBC1的体积恒为定值．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为线段AD1上的点，且..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-03 07:30:00

试题原文

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为线段AD₁上的点，且满足

D1P

=λ

PA

(λ＞0)．
（Ⅰ）当λ=1时，求证：平面ABC₁D₁⊥平面PDB；
（Ⅱ）试证无论λ为何值，三棱锥D-PBC₁的体积恒为定值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：柱体、椎体、台体的表面积与体积

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（Ⅰ）∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB⊥面AA₁D₁D，
又AB?ABC₁D₁∴平面ABC₁D₁⊥平面AA₁D₁D，
∵λ=1时，P为AD₁的中点，∴DP⊥AD₁，
又∵平面ABC₁D₁∩平面AA₁D₁D=AD₁，
∴DP⊥平面ABC₁D₁，
又DP?平面PDB，∴平面ABC₁D₁⊥平面PDB．

（Ⅱ）∵AD₁∥BC₁，P为线段AD₁上的点，
∴三角形PBC₁的面积为定值，
即S△PBC1=

1

2

×

2

×1=

2

，
又∵CD∥平面ABC₁D₁，
∴点D到平面PBC₁的距离为定值，即h=

2

，
∴三棱锥D-BPC₁的体积为定值，
即VD-PBC1=

1

3

?S△PBC1?h=

1

3

×

2

×

2

=

1

6

．
也即无论λ为何值，三棱锥D-PBC₁的体积恒为定值

1

6

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为线段AD1上的点，且..”的主要目的是检查您对于考点“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”。

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