已知在平面直角坐标系xOy中，圆心在第二象限、半径为22的圆C与直线y=x相切于坐标原点O．椭圆x2a2+y29=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．（1）求圆C的方程；（2）试探究-数学试题及答案

1、试题题目：已知在平面直角坐标系xOy中，圆心在第二象限、半径为22的圆C与直..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-05 07:30:00

试题原文

已知在平面直角坐标系xOy中，圆心在第二象限、半径为2

2

的圆C与直线y=x相切于坐标原点O．椭圆

x2

a2

+

y2

9

=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
（1）求圆C的方程；
（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使A到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设圆心坐标为（m，n）（m＜0，n＞0），
则该圆的方程为（x-m）²+（y-n）²=8已知该圆与直线y=x相切，
那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则

|m-n|

2

=2

2

即|m-n|=4…①
又圆与直线切于原点，将点（0，0）代入得m²+n²=8…②
联立方程①和②组成方程组解得

m=-2

n=2

故圆的方程为（x+2）²+（y-2）²=8；
（2）∵椭圆

x2

a2

+

y2

9

=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
∴2a=10，得a=5，a²=25，
由此可得，椭圆的方程为

x2

25

+

y2

9

=1
其焦距c=

25-9

=4，右焦点为（4，0），那么|OF|=4．
将两圆的方程联列，得

(x-4)2+y2=16

(x+2)2+(y-2)2=8

，解之得x=

4

5

，y=

12

5

．
即存在异于原点的点Q（

4

5

，

12

5

），
使得该点到右焦点F的距离等于|OF|的长．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知在平面直角坐标系xOy中，圆心在第二象限、半径为22的圆C与直..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

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