已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA1=2，AC=1，M，N分别是A1B1，BC的中点．(Ⅰ)证明：MN∥平面ACC1A1；(Ⅱ)求二面角M-AN-B的余弦值。-数学试题及答案

1、试题题目：已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA1=2，AC..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-16 07:30:00

试题原文

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，∠BAC= 90°，AB=AA₁=2，AC=1，M，N分别是A₁B₁，BC的中点．
(Ⅰ)证明：MN∥平面ACC₁A₁；
(Ⅱ)求二面角M-AN-B的余弦值。

试题来源：福建省模拟题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：依条件可知AB，AC，AA₁两两垂直，如图，
以点A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，
根据条件容易求出如下各点坐标： A(0，0，0)，B(0，2，0)，
C(-1，0，0)，A₁(0，0，2)，

，

，
(Ⅰ)证明：∵

是平面ACC₁A₁的一个法向量，
且

，所以

，
又∵

平面ACC₁A₁，
∴MN∥平面ACC₁A₁。
(Ⅱ)设n=（x，y，z）是平面AMN的法向量，
因为

，
由

，得

，
解得平面AMN的一个法向量为n=（4，2，-1），
由已知，平面ABC的一个法向量为m=（0，0，1），

，
∴二面角M-AN-B的余弦值是

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA1=2，AC..”的主要目的是检查您对于考点“高中用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题”。

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