我们称离心率e=5-12的椭圆叫做“黄金椭圆”，若x2a2+y2b2=1(a＞0，b＞0)为黄金椭圆，以下四个命题：（1）长半轴长a，短半轴长b，半焦距c成等比数列．（2）一个长轴顶点与其不同侧的焦点-数学试题及答案

1、试题题目：我们称离心率e=5-12的椭圆叫做“黄金椭圆”，若x2a2+y2b2=1(a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-25 07:30:00

试题原文

我们称离心率e=

5

-1

2

的椭圆叫做“黄金椭圆”，若

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)为黄金椭圆，以下四个命题：
（1）长半轴长a，短半轴长b，半焦距c成等比数列．
（2）一个长轴顶点与其不同侧的焦点以及一个短轴顶点构成直角三角形．
（3）以两条通经的4个端点为顶点的四边形为正方形．
（4）P、Q为椭圆上任意两点，M为PQ中点，只要PQ与OM的斜率存在，必有k_PQ?k_OM的定值．
其中正确命题的序号为______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：真命题、假命题

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵离心率e=

5

-1

2

=

c

a

，不妨设a=2，c=

5

-1，则b²=a²-c²=2

5

-2=ac，∴长半轴长a，短半轴长b，半焦距c成等比数列，故正确；
（2）取A（a，0），B（0，b），焦点F（-c，0），而|BF|²+|BA|²=b²+c²+a²+b²=2a²+b²，|AF|²=（a+c）²=a²+2ac+c²=a²+2b²+c²=2a²+b²，
∴|BF|²+|BA|²=|AF|²，∴AB⊥BF，∴一个长轴顶点与其不同侧的焦点以及一个短轴顶点构成直角三角形，故正确；
（3）把x=c代入椭圆方程得

c2

a2

+

y2

b2

=1，解得y=±

b2

a

=±c．故正确．
（4）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），线段PQ的中点M（x₀，y₀），
则

x

21

a2

+

y

21

b2

=1，

x

22

a2

+

y

22

b2

=1，将两式相减得

x

21

-

x

22

a2

+

y

21

-

y

22

b2

=0，∴

x0

a2

+

y0kPQ

b2

=0，又kOM=

y0

x0

，∴kPQ?kOM=-

b2

a2

，为定值．
综上可知：（1）（2）（3）（4）都正确．
故答案为：（1）（2）（3）（4）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“我们称离心率e=5-12的椭圆叫做“黄金椭圆”，若x2a2+y2b2=1(a..”的主要目的是检查您对于考点“高中真命题、假命题”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中真命题、假命题”。

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