已知函数f（x）=x2+（a-1）x+b+1，当x∈[b，a]时，函数f（x）的图象关于y轴对称，数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=f（n）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=an2n，Tn=b1+b2+…+bn，若Tn＞-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x2+（a-1）x+b+1，当x∈[b，a]时，函数f（x）的图象关于..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-07 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x²+（a-1）x+b+1，当x∈[b，a]时，函数f（x）的图象关于y轴对称，数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=f（n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

an

2n

，T_n=b₁+b₂+…+b_n，若T_n＞m，求m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵函数f（x）的图象关于y轴对称，
∴a-1=0，且a+b=0，解得a=1，b=-1，
∴S_n=n²，即有a_n=S_n-S_n-1=2n-1（n≥2）．
a₁=S₁=1也满足，
∴a_n=2n-1．（5分）
（2）由（1）得b_n=

2n-1

2n

，
∴T_n=

1

21

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

，①

1

2

T_n=

1

22

+

3

23

+…+

2n-5

2n-1

+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

，②
①-②得

1

2

T_n=

1

2

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n-1

+

2

2n

-

2n-1

2n+1

=

1

2

+（

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

）-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

，
∴T_n=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n

=3-

2n+3

2n

．（9分）
设g（n）=

2n+3

2n

，n∈N₊，
则由

g(n+1)

g(n)

=

2n+5

2n+1

2n+3

2n

=

2n+5

2(2n+3)

=

1

2

+

1

2n+3

≤

1

2

+

1

5

＜1，得g（n）=

2n+3

2n

（n∈N₊）随n的增大而减小，
∴g（n）≤g（1），
即T_n≥3-

2+3

2

=

1

2

．
又T_n＞m恒成立，
∴m＜

1

2

．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2+（a-1）x+b+1，当x∈[b，a]时，函数f（x）的图象关于..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：