已知定点F（1，0），F′（-1，0），动点P满足|PF|，22|FF′|，|PF′|成等差数列（1）求动点P的轨迹E的方程（2）过点F（1，0）且与x轴不重合的直线l与E交于M、N两点，以MN为对角线的正方形-数学试题及答案

1、试题题目：已知定点F（1，0），F′（-1，0），动点P满足|PF|，22|FF′|，|PF′|成等..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-07 07:30:00

试题原文

已知定点F（1，0），F′（-1，0），动点P满足|

PF

|，

2

|

FF′

|，|PF′|成等差数列
（1）求动点P的轨迹E的方程
（2）过点F（1，0）且与x轴不重合的直线l与E交于M、N两点，以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，求直线l的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意可得：|

PF

|+|

PF′

|=2?

2

|

FF′

|=2

2

＞|

FF′

|，
由椭圆的定义可得：动点P的轨迹E是椭圆，且a=

2

，c=1，∴b²=a²-c²=1，
∴动点P的轨迹E的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）①当直线l与x轴垂直时，l：x=1．
此时M(1，

2

)，N(1，-

2

)，以MN为对角线的正方向的另外两个顶点为(1±

2

，0)，不合题意；
②当直线l与x轴既不垂直也不重合时，设l：y=k（x-1）（k≠0），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立

x2

2

+y2=1

y=k(x-1)

，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
∴x1+x2=

4k2

2k2+1

，x1x2=

2k2-2

2k2+1

．
∴MN的中点坐标为(

2k2

2k2+1

，

-k

2k2+1

)．
则线段MN的中垂线m的方程为y+

k

2k2+1

=-

1

k

(x-

2k2

2k2+1

)，
即m：y=-

x

k

+

k

2k2+1

，
则直线m与y轴的交点为Q(0，

k

2k2+1

)，
而以MN为对角线的正方形的第三个顶点Q恰在y轴上，
∴QM⊥QN，即

QM

?

QN

=(x1，y1-

k

2k2+1

)?(x2，y2-

k

2k2+1

)=0，
整理得x1x2+y1y2-

k

2k2+1

（y₁+y₂）+

k2

(2k2+1)2

=0，（*）
由

y1y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-

k2

2k2+1

y1+y2=k(x1+x2-2)=-

2k

2k2+1

代入（*）解得k=±1．
故所求直线方程为x+y-1=0或x-y-1=0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定点F（1，0），F′（-1，0），动点P满足|PF|，22|FF′|，|PF′|成等..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

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