已知an≥0，n∈N*，关于x的一元二次方程x2-anx-1=0的两实数根αn、βn满足αn＞βn，且a1=0，an+1=αn-βn．（1）求数列{αn}和{βn}的通项公式；（2）求limn→∞β1+β2+…+βnαn的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知an≥0，n∈N*，关于x的一元二次方程x2-anx-1=0的两实数根αn、β..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-07 07:30:00

试题原文

已知a_n≥0，n∈N^*，关于x的一元二次方程x²-a_nx-1=0的两实数根α_n、β_n满足 α_n＞β_n，且a₁=0，a_n+1=α_n-β_n．
（1）求数列{α_n}和{β_n}的通项公式；
（2）求

lim

n→∞

β1+β2+…+βn

αn

的值．

试题来源：松江区模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵α_n＞β_n，且a₁=0，a_n+1=α_n-β_n，
∴αn+βn=an，αnβn=-1，an+1=αn-βn=

(αn+βn)2-4αnβn

=

an2+4

?an+12-an2=4，
∴{a_n²}是一个以0为首项，4为公差的等差数列．∴an2=4(n-1)?an=2

n-1

，
∴

αn+βn=2

n-1

αn-βn=2

n

?αn=

n

+

n-1

，βn=

n-1

-

n

．
（2）

lim

n→∞

β1+β2+…+βn

αn

=

lim

n→∞

-1+1-

2

+

2

-

3

+…+

n-1

-

n

+

n-1

=

lim

n→∞

-

n

+

n-1

=-

1

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知an≥0，n∈N*，关于x的一元二次方程x2-anx-1=0的两实数根αn、β..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：