如图，已知⊙O1与⊙O2都过点A，AO1是⊙O2的切线，⊙O1交O1O2于点B，连结AB并延长交⊙O2于点C，连结O2C。（1）求证：O2C⊥O1O2；（2）证明：AB·BC=2O2B·BO1；（3）如果AB·BC=12，O2C=4，求A-数学试题及答案

1、试题题目：如图，已知⊙O1与⊙O2都过点A，AO1是⊙O2的切线，⊙O1交O1O2于点B，连..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-05-23 07:30:00

试题原文

如图，已知⊙O₁与⊙O₂都过点A，AO₁是⊙O₂的切线，⊙O₁交O₁O₂于点B，连结AB并延长交⊙O₂于点C，连结O₂C。
（1）求证：O₂C⊥O₁O₂；
（2）证明：AB·BC=2O₂B·BO₁；
（3）如果AB·BC=12，O₂C=4，求AO₁的长。

试题来源：湖北省中考真题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：初中考察重点：直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）∵AO₁是⊙O₂的切线， ∴O₁A⊥AO₂， ∴∠O₂AB+∠BAO₁=90°，又O₂A=O₂C，O₁A=O₁B， ∴∠O₂CB=∠O₂AB，∠O₂BC=∠ABO₁=∠BAO₁， ∴∠O₂CB+∠O₂BC=∠O₂AB+∠BAO₁=90°， ∴O₂C⊥O₂B，即O₂C⊥O₁O₂；
（2）延长O₂O₁交⊙O₁于点D，连结AD， ∵BD是⊙O₁直径， ∴∠BAD=90°，又由（1）可知∠BO₂C=90°， ∴∠BAD=∠BO₂C，又∠ABD=∠O₂BC， ∴△O₂BC∽△ABD， ∴， ∴AB·BC=O₂B·BD，又BD=2BO₁， ∴AB·BC=2O₂B·BO₁。
（3）由（2）证可知∠D=∠C=∠O₂AB，即∠D=∠O₂AB，又∠AO₂B=∠DO₂A， ∴△AO₂B∽△DO₂A， ∴， ∴AO₂²=O₂B·O₂D， ∵O₂C=O₂A， ∴O₂C²=O₂B·O₂D， ①又由（2）AB·BC=O₂B·BD ②由①-②得，O₂C²-AB·BC= O₂B²，即 4²-1^₂=O₂B²， ∴O₂B=2，又O₂B·BD=AB·BC=12， ∴BD=6， ∴2AO₁=BD=6， ∴AO₁=3。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，已知⊙O1与⊙O2都过点A，AO1是⊙O2的切线，⊙O1交O1O2于点B，连..”的主要目的是检查您对于考点“初中直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）”。

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