已知函数f（x）=ekx（k是不为零的实数，e为自然对数的底数）．（1）若曲线y=f（x）与y=x2有公共点，且在它们的某一公共点处有共同的切线，求k的值；（2）若函数h（x）=f（x）（x2-2kx-2）在区-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ekx（k是不为零的实数，e为自然对数的底数）．（1）若曲..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=e^kx（k是不为零的实数，e为自然对数的底数）．
（1）若曲线y=f（x）与y=x²有公共点，且在它们的某一公共点处有共同的切线，求k的值；
（2）若函数h（x）=f（x）（x²-2kx-2）在区间(k，

1

k

)内单调递减，求此时k的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设曲线y=f（x）与y=x²有共同切线的公共点为P（x₀，y₀），
则ekx0=

x

20

①，
又∵y=f（x）与y=x²在点P（x₀，y₀）处有共同切线，
且f′（x）=ke^kx，（x²）′=2x，
∴kekx0=2x0 ②，
由①②解得，k=±

2

e

．
（2）由f（x）=e^kx得，函数h（x）=（x²-2kx-2）e^kx，
∴（h（x））′=[kx²+（2-2k²）x-4k]e^kx
=k[x2+(

2

k

-2k)x-4]ekx=k(x-2k)(x+

2

k

)ekx．
又由区间(k，

1

k

)知，

1

k

＞k，
解得0＜k＜1，或k＜-1．
①当0＜k＜1时，
由（h（x））'=k(x-2k)(x+

2

k

)ekx＜0，得-

2

k

＜x＜2k，
即函数h（x）的单调减区间为(-

2

k

，2k)，
要使h（x）=f（x）（x²-2kx-2）在区间(k，

1

k

)内单调递减，
则有

0＜k＜1

k≥-

2

k

1

k

≤2k

，解得

2

≤k＜1．
②当k＜-1时，
由（h（x））'=k(x-2k)(x+

2

k

)ekx＜0，得x＜2k或x＞-

2

k

，
即函数h（x）的单调减区间为（-∞，2k）和(-

2

k

，+∞)，
要使h（x）=f（x）（x²-2kx-2）在区间(k，

1

k

)内单调递减，
则有

k＜-1

1

k

≤2k

，或

k＜-1

k≥-

2

k

，
这两个不等式组均无解．
综上，当

2

≤k＜1时，
函数h（x）=f（x）（x²-2kx-2）在区间(k，

1

k

)内单调递减．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ekx（k是不为零的实数，e为自然对数的底数）．（1）若曲..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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