已知R上的不间断函数g（x）满足：①当x＞0时，g′（x）＞0恒成立；②对任意的x∈R都有g（x）=g（-x）．又函数f（x）满足：对任意的x∈R，都有f(3+x)=-f(x)成立，当x∈[0，3]时，f（x）=x3-3x．若关于-数学试题及答案

1、试题题目：已知R上的不间断函数g（x）满足：①当x＞0时，g′（x）＞0恒成立；②对任..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知R上的不间断函数g（x）满足：①当x＞0时，g′（x）＞0恒成立；②对任意的x∈R都有g（x）=g（-x）．又函数f（x）满足：对任意的x∈R，都有f(

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+x)=-f(x)成立，当x∈[0，

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]时，f（x）=x³-3x．若关于x的不等式g[f（x）]≤g（a²-a+2）对x∈[-3，3]恒成立，则a的取值范围（　　）

A．a≤0或a≥1

B．0≤a≤1

C．-1≤a≤1

D．a∈R

试题来源：不详试题题型：单选题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

因为函数g（x）满足：当x＞0时，g'（x）＞0恒成立，
且对任意x∈R都有g（x）=g（-x），
则函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，
且有g|（x|）=g（x），
所以g[f（x）]≤g（a²-a+2）在R上恒成立，
∴|f（x）|≤|a2-a+2|对x∈∈[-

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-2

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，

3

2

-2

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]恒成立，
只要使得定义域内|f（x）|_max≤|a²-a+2|_min，
由于当x∈[-

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，

3

]时，f（x）=x³-3x，
求导得：f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
该函数过点（-

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，0），（0，0），（

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，0），
且函数在x=-1处取得极大值f（-1）=2，
在x=1处取得极小值f（1）=-2，
又由于对任意的x∈R都有f（

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+x）=-f（x），
∴f（2

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+x）=-f（

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+x）=f（x）成立，则函数f（x）为周期函数且周期为T=2

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，
所以函数f（x）在x∈[-

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2

-2

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，

3

2

-2

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]的最大值为2，所以令2≤|a²-a+2|解得：a≥1或a≤0．
故选A

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知R上的不间断函数g（x）满足：①当x＞0时，g′（x）＞0恒成立；②对任..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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