已知函数F（x）=1a-1x，x＞0，a＞0．（1）讨论f（x）在定义域上的单调性，并给予证明；（2）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，（0＜m＜n），求a的取值范围和相应的m，n的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数F（x）=1a-1x，x＞0，a＞0．（1）讨论f（x）在定义域上的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-11 07:30:00

试题原文

已知函数F（x）=

1

a

-

1

x

，x＞0，a＞0．
（1）讨论f（x）在定义域上的单调性，并给予证明；
（2）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，（0＜m＜n），求a的取值范围和相应的m，n的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（x）在定义域上单调递增．证明如下
任取x₁＞x₂＞0，
则f(x1)-f(x2)=(

1

a

-

1

x1

)-(

1

a

-

1

x2

)
=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

．
∵x₁＞x₂＞0，∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞0．
∴

x1-x2

x1x2

＞0．
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在定义域上单调递增．
（2）由（1）知f（x）在[m，n]上单调递增，
则f（x）在[m，n]上的值域是[f（m），f（n）]．
即f(m)=

1

a

-

1

m

=m，f(n)=

1

a

-

1

n

=n．
∴m，n为方程ax²-x+a=0的两实根，
∴△=1-4a²＞0，
∴-

1

2

＜a＜

1

2

，又a＞0，可得a∈(0，

1

2

)．
则m=

1-

1-4a2

2a

，n=

1+

1-4a2

2a

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数F（x）=1a-1x，x＞0，a＞0．（1）讨论f（x）在定义域上的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

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