设函数y=f（x）的定义域为R，对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时f（x）＜0且f（3）=-4．（1）求证：y=f（x）为奇函数；（2）在区间[-9，9]上，求y=f（x）的最值．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数y=f（x）的定义域为R，对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-11 07:30:00

试题原文

设函数y=f（x）的定义域为R，对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时f（x）＜0且f（3）=-4．
（1）求证：y=f（x）为奇函数；
（2）在区间[-9，9]上，求y=f（x）的最值．

试题来源：南汇区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：令x=y=0，得f（0）=0
令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函数…（6分）
（2）对任取实数x₁、x₂∈[-9，9]且x₁＜x₂，这时，x₂-x₁＞0，
f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）-f（x₁）=-f（x₂-x₁）
因为x＞0时f（x）＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x）在[-9，9]上是减函数
故f（x）的最大值为f（-9），最小值为f（9）
而f（9）=f（3+3+3）=3f（3）=-12，f（-9）=-f（9）=12
∴f（x）在区间[-9，9]上的最大值为12，最小值为-12 …（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数y=f（x）的定义域为R，对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

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