某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品，该工艺品由一个圆柱和一个半球组成，要求半球的半径和圆柱的底面半径之比为3：2，工艺品的体积为34πcm3．设圆柱的底面直径为4x（cm），工-数学试题及答案

1、试题题目：某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品，该工艺品由一个圆柱和一..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-12 07:30:00

试题原文

某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品，该工艺品由一个圆柱和一个半球组成，要求半球的半径和圆柱的底面半径之比为3：2，工艺品的体积为34πcm³．设圆柱的底面直径为4x（cm），工艺品的表面积为S（cm²）．
（1）试写出S关于x的函数关系式；
（2）怎样设计才能使工艺品的表面积最小？

试题来源：江苏模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题知圆柱的底面半径为2x，半球的半径为3x．
设圆柱的高为h（cm）．因为工艺品的体积为34πcm³，所以

1

2

×

4

3

(3x)3+π(2x)2h=34π，
所以h=

17

2x2

-

9

2

x，所以工艺品的表面积为
S=

1

2

×4π(3x)2+2π(2x)h+π(3x)2+2×π(2x)2
=35πx2+4πx(

17

2x2

-

9

2

x)
=17π(x2+

2

x

).
由x＞0且h=

17

2x2

-

9

2

x＞0，得0＜x＜

3	51

3

.
所以S关于x的函数关系式是S=17π(x2+

2

x

)，0＜x＜

3	51

3

.
（2）由（1）知，S′=17π(2x-

2

x

)=

34π(x3-1)

x2

，0＜x＜

3	51

3

.令S'=0，得x=1．
当0＜x＜1时，S'＜0，所以S关于x∈（0，1]是单调减函数；
当1＜x＜

3	51

3

时，S'＞0，所以S关于x∈[1，

3	51

3

)是单调增函数．
所以，当x=1时，S取得最小值Smin=17π(12+

2

1

)=51π，此时h=4．
答：按照圆柱的高为4cm，圆柱的底面半径为2cm，半球的半径为3cm设计，工艺品的表面积最小，为51πcm²．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品，该工艺品由一个圆柱和一..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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