发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-13 07:30:00
试题原文 |
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(1)函数f(x)的定义域为(-1,+∞). f′(x)=
当-1<x<0时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x>0时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 所以当x=0时f(x)取得极大值f(0)=0,无极小值; (2)由(1)知,x=0为f(x)唯一的极大值点,也即最大值点, 所以当x>-1时,f(x)≤f(0)=0,即ln(x+1)-x≤0, 所以ln(x+1)≤x; 令g(x)=ln(x+1)+
当-1<x<0时,g′(x)<0,g(x)单调递减;当x>0时,g′(x)>0,g(x)单调递增, 所以x=0是g(x)唯一的极小值点,也即最小值点, 所以g(x)≥g(0)=0,即ln(x+1)+
所以ln(x+1)≥1-
综上,x>-1时,1-
(3)g(x)=
又k为正整数.则k的最大值不大于3. 下面证明当k=3时,f(x)>
令g(x)=(x+1)ln(x+1)+1-2x, 则g′(x)=ln(x+1)-1. 当x>e-1时,g′(x)>0;当0<x<e-1时,g′(x)<0. ∴当x=e-1时,g(x)取得最小值g(e-1)=3-e>0. ∴当x>0时,(x+1)ln(x+1)+1-2x>0恒成立. 因此正整数k的最大值为3. |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知函数f(x)=ln(x+1)-x(1)求f(x)的极值;(2)若x>-1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的最值与导数的关系”。