已知两不共线的向量a，b的夹角为θ，且|a|=3，|b|=1，x为正实数．（1）若a+2b与a-4b垂直，求tanθ；（2）若对任意正实数x，向量xa-b的模不小于12，求θ的取值范围；（3）若θ为锐角，对-数学试题及答案

1、试题题目：已知两不共线的向量a，b的夹角为θ，且|a|=3，|b|=1，x为正实数．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知两不共线的向量

a

，

b

的夹角为θ，且|

a

|=3，|

b

|=1，x为正实数．
（1）若

a

+2

b

与

a

-4

b

垂直，求tanθ；
（2）若对任意正实数x，向量x

a

-

b

的模不小于

1

2

，求θ的取值范围；
（3）若θ为锐角，对于正实数m，关于x的方程|x

a

-

b

|=|m

a

|有两个不同的正实数解，且x≠m，求m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵(

a

+2

b

)⊥(

a

-4

b

)，∴(

a

+2

b

)?(

a

-4

b

)=0，化为

a

2-2

a

?

b

-8

b

2=0，
∴3²-2×3×1×cosθ-8×1²=0，解得cosθ=

1

6

，
又θ∈（0，π），∴sinθ=

1-(

1

6

)2

=

35

6

，∴tanθ=

sinθ

cosθ

=

35

．
（2）∵|x

a

-

b

|=

(x

a

-

b

)2

=

9x2-6xcosθ+1

≥

1

2

，对x＞0恒成立，
即9x2-6xcosθ+

3

4

≥0，对于x＞0恒成立?cosθ≤

3x

2

+

1

8x

恒成立，对于x＞0．
∵

3x

2

+

1

8x

≥2

3x

2

×

1

8x

=

3

2

，当且仅当x=

3

6

时取等号，∴cosθ≤

3

2

，
∵θ∈（0，π），∴θ∈[

π

6

，π)．
（3）对于方程|x

a

-

b

|=|m

a

|两边平方得9x²-6xcosθ+1-9m²=0 （*）
设方程（*）的两个不同正实数解为x₁，x₂，
则

△=(6cosθ)2-36(1-9m2)＞0

x1+x2=

6cosθ

9

＞0

x1x2=

1-9m2

9

＞0

得cosθ＞0，

1

3

sinθ＜m＜

1

3

，

若x=m，则方程（*）化为x=

1

6cosθ

，∵x≠m，∴m≠

1

6cosθ

．
令

1

3

sinθ＜

1

6cosθ

＜

1

3

，得

sin2θ＜1

cosθ＞

1

2

解得0＜θ＜

π

3

，且θ≠

π

4

．
当0＜θ＜

π

3

且θ≠

π

4

时，m的取值范围是{m|

1

3

sinθ＜m＜

1

3

且m≠

1

6cosθ

}；
当

π

3

≤θ＜

π

2

或θ=

π

4

时，m的取值范围是{m|

1

3

sinθ＜m＜

1

3

}．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知两不共线的向量a，b的夹角为θ，且|a|=3，|b|=1，x为正实数．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：