已知函数f（x）=（x-1）2，g（x）=alnx．（1）若两曲线y=f（x）与y=g（x）在x=2处的切线互相垂直，求a的值，并判断函数F（x）=f（x）-g（x）的单调性并写出其单调区间；（2）若函数?(x)=af(x)+g(x-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=（x-1）2，g（x）=alnx．（1）若两曲线y=f（x）与y=g（x）在x=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=（x-1）²，g（x）=alnx．
（1）若两曲线y=f（x）与y=g（x）在x=2处的切线互相垂直，求a的值，并判断函数F（x）=f（x）-g（x）的单调性并写出其单调区间；
（2）若函数?(x)=af(x)+

g(x)

a

的图象与直线y=x至少有一个交点，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意：g′（x）=

a

x

，∴g（x）的图象在x=2切线的斜率为：g′（2）=

a

2

，
又f′（x）=2（x-1），∴f（x）的图象在x=2切线的斜率为：f′（2）=2，
由两曲线y=f（x）与y=g（x）在x=2处的切线互相垂直得：

a

2

×2=-1，∴a=-1，
∴F（x）=f（x）-g（x）=（x-1）²+lnx，（x＞0）
∴F′（x）=2x+

1

x

-2≥2

2

-2＞0
即函数F（x）在（0，+∞）上为增函数，
（2）?（x）=af(x)+

g(x)

a

=a(x-1)2+lnx
令h（x）=?（x）-x，由题意得h（x）=0在区间（0，+∞）上至少有一解，h′(x)=

(2ax-1)(x-1)

x

，令h'（x）=0，得x1=

1

2a

，x2=1
①当

1

2a

＜0即a＜0时，h（x）单调递增区间为（0，1），减区间为（1，+∞），
所以h（x）_max=h（1）=-1＜0，所以方程h（x）=0无解．
②当

1

2a

＞1即0＜a＜

1

2

时，h（x）单调递增区间为（0，1），（

1

2a

，+∞)，减区间为（1，

1

2a

），所以极大值h（1）=-1，极小值h(

1

2a

)＜0，
又h（x）=a(x-1)2+lnx-x=a(x-1-

1

2a

)2+lnx-

1

4a

-1
∴h(2+

1

a

)=a(1+

1

2a

)2+ln(2+

1

a

)-1-

1

4a

=a+ln(2+

1

a

)＞0，所以方程恰好有一解；
③当a=

1

2

时，h'（x）≥0，由上②知方程也恰好有一解；
④当a＞

1

2

时，h（x）单调递增区间为（0，

1

2a

），（1，+∞），减区间为（

1

2a

，1），
同上可得方程h（x）=0在（0，+∞）上至少有一解．
综上所述，所求a的取值范围为（0，+∞）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=（x-1）2，g（x）=alnx．（1）若两曲线y=f（x）与y=g（x）在x=..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：