已知曲线C1：ρcos（θ+π4）=22；曲线C2：ρ2=32-cos2θ．（1）试判断曲线C1与C2的交点个数；（2）若过点M（1，0）直线l与曲线C2交于两个不同的点A，B，求|MA|?|MB||AB|的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知曲线C1：ρcos（θ+π4）=22；曲线C2：ρ2=32-cos2θ．（1）试判断曲线C1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知曲线C₁：ρcos（θ+

π

4

）=

2

；曲线C₂：ρ²=

3

2-cos2θ

．
（1）试判断曲线C₁与C₂的交点个数；
（2）若过点M（1，0）直线l与曲线C₂交于两个不同的点A，B，求

|MA|?|MB|

|AB|

的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由ρcos（θ+

π

4

）=

2

，得

2

ρ（cosθ-sinθ）=

2

，
所以x-y=1，
由ρ²=

3

2-cos2θ

，得ρ²（3-2cos²θ）=3，
所以3（x²+y²）-2x²=3，即x²+3y²=3，
由

x-y=1

x2+3y2=3

得2x²-3x=0，解得x=0或x=

3

2

，
所以曲线C₁与C₂的交点有两个；
（2）①当直线l存在斜率时，设l的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=k(x-1)

x2+3y2=3

得（1+3k²）x²-6k²x+3k²-3=0，
△=36k⁴-4（1+3k²）（3k²-3）＞0，即2k²+1＞0恒成立，
则x1+x2=

6k2

1+3k2

，x1x2=

3k2-3

1+3k2

，
|MA|=

1+k2

|x1-1|，|MB|=

1+k2

|x2-1|，|AB|=

1+k2

|x1-x2|，

|MA|?|MB|

|AB|

=

(1+k2)|x1-1||x2-1|

1+k2

|x1-x2|

=

1+k2

|x1x2-(x1+x2)+1|

|x1-x2|

=

1+k2

|

3k2-3

1+3k2

-

6k2

1+3k2

+1|

(

6k2

1+3k2

)2-

4(3k2-3)

1+3k2

=

6

?

k2+1

k2+

1

2

=

6

?

1+

1

2k2+1

，
又k²≥0，所以

6

＜

|MA|?|MB|

|AB|

≤

6

?

2

=

3

；
②当直线l不存在斜率时，把x=1代入x²+3y²=3得y=±

6

3

，
此时

|MA|?|MB|

|AB|

=

(

6

3

)2

2

6

3

=

6

，
综合①②得

|MA|?|MB|

|AB|

的取值范围为[

6

，

3

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知曲线C1：ρcos（θ+π4）=22；曲线C2：ρ2=32-cos2θ．（1）试判断曲线C1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：