已知函数f(x)=x+ax(a∈R），g（x）=lnx（1）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调区间；（2）若关于x的方程g(x)x=x?[f(x)-2e]（e为自然对数的底数）只有一个实数根，求a的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=x+ax(a∈R），g（x）=lnx（1）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=x+

a

x

(a∈R），g（x）=lnx
（1）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程

g(x)

x

=x?[f(x)-2e]（e为自然对数的底数）只有一个实数根，求a的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

函数F(x)=f(x)+g(x)=x+

a

x

+lnx的定义域为（0，+∞）．
∴F′(x)=1-

a

x2

+

1

x

=

x2+x-a

x2

．
①当△=1+4a≤0，即a≤-

1

4

时，得x²+x-a≥0，则F′（x）≥0．
∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增．（2分）
②当△=1+4a＞0，即a＞-

1

4

时，令F′（x）=0，得x²+x-a=0，
解得x1=

-1-

1+4a

2

＜0，x2=

-1+

1+4a

2

．
（ⅰ）若-

1

4

＜a≤0，则x2=

-1+

1+4a

2

≤0．
∵x∈（0，+∞），
∴F′（x）＞0，
∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增．（4分）
（ⅱ）若a＞0，则x∈(0，

-1+

1+4a

2

)时，F′（x）＜0；
x∈(

-1+

1+4a

2

，+∞)时，F′（x）＞0，
∴函数F（x）在区间(0，

-1+

1+4a

2

)上单调递减，
在区间(

-1+

1+4a

2

，+∞)上单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数F（x）的单调递增区间为（0，+∞）；（6分）
当a＞0时，函数F（x）的单调递减区间为(0，

-1+

1+4a

2

)，
单调递增区间为(

-1+

1+4a

2

，+∞)．（8分）
（2）令h(x)=

lnx

x

，则h′(x)=

1-lnx

x2

．
令h′（x）=0，得x=e．
当0＜x＜e时，h′（x）＞0；
当x＞e时，h′（x）＜0．
∴函数h（x）在区间（0，e）上单调递增，
在区间（e，+∞）上单调递减．
∴当x=e时，函数h（x）取得最大值，其值为h(e)=

1

e

．（10分）
而函数m（x）=x²-2ex+a=（x-e）²+a-e²，
当x=e时，函数m（x）取得最小值，其值为m（e）=a-e²．（12分）
∴当a-e2=

1

e

，即a=e2+

1

e

时，
方程

g(x)

x2

=f(x)-2e只有一个根．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=x+ax(a∈R），g（x）=lnx（1）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：