设函数f(x)=x3-92x2+6x-a．（1）对于任意实数x，f′（x）≥m在（1，5]恒成立（其中f′（x）表示f（x）的导函数），求m的最大值；（2）若方程f（x）=0在R上有且仅有一个实根，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f(x)=x3-92x2+6x-a．（1）对于任意实数x，f′（x）≥m在（1，5]恒成..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=x3-

9

2

x2+6x-a．
（1）对于任意实数x，f′（x）≥m在（1，5]恒成立（其中f′（x）表示f（x）的导函数），求m的最大值；
（2）若方程f（x）=0在R上有且仅有一个实根，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′（x）=3x²-9x+6，
f′（x）≥m在（1，5]恒成立，等价于m≤3x²-9x+6在（1，5]恒成立，
由f′（x）=3x²-9x+6=3(x-

3

2

)2-

3

4

在[1，5]上的最小值为-

3

4

，
所以m≤-

3

4

，即m的最大值为-

3

4

．
（2）f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），
当x＜1或x＞2时f′（x）＞0，当1＜x＜2时f′（x）＜0，
所以函数f（x）在（-∞，1）和（2，+∞）上单调递增，在（1，2）上单调递减，
所以f（x）_极大值=f（1）=

5

2

-a，f（x）_极小值=f（2）=2-a，
故当f（1）＜0或f（2）＞0时，方程f（x）=0在R上有且仅有一个实根，解得a＞

5

2

或a＜2，
所以所求a的取值范围为：（-∞，2）∪（

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2

，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f(x)=x3-92x2+6x-a．（1）对于任意实数x，f′（x）≥m在（1，5]恒成..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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