已知函数f（x）=ex+x2-x．（e=2.71828…为自然对数的底数）（Ⅰ）求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）记λ(n)=12+13+14+…+1n，求证：e+-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ex+x2-x．（e=2.71828…为自然对数的底数）（Ⅰ）求证：函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=e^x+x²-x．（e=2.71828…为自然对数的底数）
（Ⅰ）求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）若函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，求t的值；
（Ⅲ）记λ(n)=

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

，求证：e+

e

+

3	e

+…+

n	e

＞n+

1

n

+λ(n)（n≥2，n∈N^*）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）可得f′（x）=e^x+2x-1，
∵x＞0，∴f′（x）＞0
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（4分）
（Ⅱ） y=|f（x）-t|-1有三个零点，即|f（x）-t|=1，f（x）=t±1有三个零点；
由f′（x）=e^x+2x-1=0得：x=0
当x＜0时，f'（x）＜0，得：f（x）在（-∞，0）上单调递减；
当x＞0时，f'（x）＞0，得：f（x）在（0，+∞）上单调递增；
所以，只需[f（x）]_min=t-1，即f（0）=t-1，∴t=2．…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：f（x）在（0，+∞）上单调递增；
f（x）＞f（0）∴e^x+x²-x＞1，∴e^x＞1-x²+x
当n≥2，n∈N^*时，e

1

n

＞1-

1

n2

+

1

n

＞1-

1

n(n-1)

+

1

n

=1-(

1

n-1

-

1

n

)+

1

n

，又e＞2
叠加得：e+

e

+

3	e

+…+

n	e

＞n+

1

n

+λ(n)，
∴当n≥2，n∈N^*时，e+

e

+

3	e

+…+

n	e

＞n+

1

n

+λ(n)成立．…（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ex+x2-x．（e=2.71828…为自然对数的底数）（Ⅰ）求证：函..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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