已知f（x）为二次函数，不等式f（x）+2＜0的解集为(-1，13)，且对任意α，β∈R恒有f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0．数列an满足a1=1，3an+1=1-1f′(an)（n∈N×）（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设bn=-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）为二次函数，不等式f（x）+2＜0的解集为(-1，13)，且对任意..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

已知f（x）为二次函数，不等式f（x）+2＜0的解集为( -1，

1

3

)，且对任意α，β∈R恒有f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0．数列a_n满足a₁=1，3an+1=1-

1

f′(an)

（n∈N^×）
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设bn=

1

an

，求数列b_n的通项公式；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中数列b_n的前n项和为S_n，求数列S_n?cos（b_nπ）的前n项和T_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数解析式的求解及其常用方法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）依题意，f(x)+2=a(x+1)(x-

1

3

)（a＞0），
即f(x)=ax2+

2a

3

x-

a

3

-2
令α=

π

2

，β=π，则sinα=1，cosβ=-1，有f（1）≤0，f（2-1）≥0，
得f（1）=0，即a+

2a

3

-

a

3

-2=0，得a=

3

2

．
∴f(x)=

3

2

x2+x-

5

2

．-（4分）
（Ⅱ）f'（x）=3x+1，则3an+1=1-

1

f′(an)

=1-

1

3an+1

=

3an

3an+1

即an+1=

an

3an+1

，两边取倒数，得

1

an+1

=3+

1

an

，即b_n+1=3+b_n．
∴数列b_n是首项为b1=

1

a1

=1，公差为3的等差数列．
∴b_n=1+（n-1）?3=3n-2（n∈N^*）．（9分）
（Ⅲ）∵cos（b_nπ）=cos（3n-2）π=cos（nπ）=（-1）ⁿ
∴S_n?cos（b_nπ）=（-1）ⁿ?S_n∴T_n=-S₁+S₂-S₃+S₄-+（-1）ⁿS_n．
（1）当n为偶数时T_n=（S₂-S₁）+（S₄-S₃）++（S_n-S_n-1）=b₂+b₄++b_n
=

n

2

(b2+bn)

2

=

n

4

(4+3n-2)=

3n2+2n

4

（2）当n为奇数时Tn=Tn-1-Sn=

3 (n-1)2+2 (n-1)

4

-

n (1+3n-2)

2

=

-3n2-2n+1

4

综上，Tn=

-3n2-2n+1

4

( n为奇数 )

3n2+2n

4

( n为偶数 ).

（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）为二次函数，不等式f（x）+2＜0的解集为(-1，13)，且对任意..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：