设α∈(0，π2)，函数f（x）的定义域为[0，1]且f（0）=0，f（1）=1当x≥y时有f（x+y2）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y）．（1）求f（12），f（14）；（2）求α的值；（3）求函数g（x）=sin（α-2x）的单调区间．-数学试题及答案

1、试题题目：设α∈(0，π2)，函数f（x）的定义域为[0，1]且f（0）=0，f（1）=1当x≥y时..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-19 07:30:00

试题原文

设α∈(0，

π

2

)，函数f（x）的定义域为[0，1]且f（0）=0，f（1）=1当x≥y时有f（

x+y

2

）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y）．
（1）求f（

1

2

），f（

1

4

）；
（2）求α的值；
（3）求函数g（x）=sin（α-2x）的单调区间．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（

1

2

）=f（

1+0

2

）=f（1）sinα+（1-sinα）f（0）=sin α．
f（

1

4

）=f（

1

2

+0

2

）=f（

1

2

）sinα+（1-sinα）f（0）=sin²α．
（2）∵f（

3

4

）=f（

1+

1

2

）=f（1）sinα+（1-sinα）f（

1

2

）=sinα+（1-sinα）sinα=2sinα-sin²α．
f（

1

2

）=f（

3

4

+

1

4

2

）=f（

3

4

）sinα+（1-sinα）f（

1

4

）=（2sinα-sin²α ）sinα+（1-sinα）sin²α=3sin²α-2sin³α，
∴sinα=3sin²α-2sin³α，解得sin α=0，或 sin α=1，或 sin α=

1

2

．
∵α∈(0，

π

2

)，∴sin α=

1

2

，α=

π

6

．
（3）函数g（x）=sin（α-2x）=sin（

π

6

-2x）=-sin（2x-

π

6

），令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
故函数g（x）的减区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．
令 2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，可得 kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，故函数g（x）的增区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈z．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设α∈(0，π2)，函数f（x）的定义域为[0，1]且f（0）=0，f（1）=1当x≥y时..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：