已知定义在集合（0，+∞）的函数y=f（x）满足条件：对于任意的x，y∈（0，+∞），f（x?y）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0（1）试举出满足条件的一个函数（2）证明f（1）=0；（3）讨论函数y=f（x）在-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义在集合（0，+∞）的函数y=f（x）满足条件：对于任意的x，y∈（0，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-19 07:30:00

试题原文

已知定义在集合（0，+∞）的函数y=f（x）满足条件：对于任意的x，y∈（0，+∞），f（x?y）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0
（1）试举出满足条件的一个函数
（2）证明f（1）=0；
（3）讨论函数y=f（x）在（0，+∞）上的单调性．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解．（1）y=log₂^x．
（2）证明：因为对于任意x，y∈（0，+∞），有f（x?y）=f（x）+f（y）
所以可令x=y=1，则有f（1）=f（1）+f（1），即f（1）=0．

（3）设任意实数x₁，x₂∈（0，+∞），且x₂＜x₁，
则f(x1)-f(x2)=f(

x1

x2

?x2)-f(x2)=f(

x1

x2

)+f(x2)-f(x2)=f(

x1

x2

)．
因为x₁，x₂∈（0，+∞），x₂＜x₁
所以

x1

x2

＞1，又当x＞1时有f（x）＞0
所以f(

x1

x2

)＞0即f（x₁）-f（x₂）＞0
所以f（x₁）＞f（x₂）函数在（0，+∞）是单调增函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义在集合（0，+∞）的函数y=f（x）满足条件：对于任意的x，y∈（0，..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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