已知O为坐标原点，点M，N分别在x，y轴上运动，且|MN|=4，动点P满足MP=13PN．（I）求动点P的轨迹C的方程．（II）过点（0，2）的直线l与C交于不同两点A，B．①求直线l斜率k的取值范围．②若-数学试题及答案

1、试题题目：已知O为坐标原点，点M，N分别在x，y轴上运动，且|MN|=4，动点P满..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

已知O为坐标原点，点M，N分别在x，y轴上运动，且|MN|=4，动点P满足

MP

=

1

3

PN

．
（I）求动点P的轨迹C的方程．
（II）过点（0，2）的直线l与C交于不同两点A，B．
①求直线l斜率k的取值范围．②若OA⊥OB，求直线l的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）设M（a，0），N（0，b），P（x，y），由条件

MP

=

1

3

PN

得（x-a，y）=

1

3

（-x，b-y），即

a=

4

3

x

b=4y

因为|MN|=4，所以a²+b²=16，即

x2

9

+y2=1
（II）设直线l的方程为：y=kx+2，与椭圆方程联立、消元得：（1+9k²）x²+36kx+27=0 （1）
①直线l与C交于不同两点A，B则△＞0，解得k＜-

3

或k＞

3

②设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），OA⊥OB?x₁x₂+y₁y₂=0 （2），
由（1）可得x₁x₂=

27

1+9k2

，x₁+x₂=-

36k

1+9k2

所以y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=

4-9k2

1+9k2

代入（2）得k2=

31

9

，k=±

31

3

所以直线l的方程为：y=±

31

3

x+2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知O为坐标原点，点M，N分别在x，y轴上运动，且|MN|=4，动点P满..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

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