已知动圆M和圆C1：（x+1）2+y2=9内切，并和圆C2：（x-1）2+y2=1外切．（1）求动圆圆心M的轨迹方程；（2）过圆C1和圆C2的圆心分别作直线交（1）中曲线于点B、D和A、C，且AC⊥BD，垂足为P（x0-数学试题及答案

1、试题题目：已知动圆M和圆C1：（x+1）2+y2=9内切，并和圆C2：（x-1）2+y2=1外切．（1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

已知动圆M和圆C₁：（x+1）²+y²=9内切，并和圆C₂：（x-1）²+y²=1外切．
（1）求动圆圆心M的轨迹方程；
（2）过圆C₁和圆C₂的圆心分别作直线交（1）中曲线于点B、D和A、C，且AC⊥BD，垂足为P（x₀，y₀），设点E（-2，-1），求|PE|的最大值；
（3）求四边形ABCD面积的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设动圆圆心为M（x，y），半径为r，则

|MC1 =3-r

|MC2 =1+r

? |MC1|+|MC2| =4．…（3分）
故动点M的轨迹是椭圆，a=2 ， c=1 ， b=

3

，其方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（5分）
（2）显然点P在以线段C₁C₂为直径的圆上，x₀²+y₀²=1．…（7分）
设

x0=cosθ

y0=sinθ

，则|PE| =

(cosθ+2)2+(sinθ+1)2

=

6+4cosθ+2sinθ

=

6+2

5

sin (θ+?)

，
故所求最大值为

6+2

5

=

5

+1．（也可数形结合，求得|PE|max = |EO|+1=

5

+1．）…（10分）
（3）当AC⊥x轴或BD⊥x轴时，S=

1

2

|BD|?|AC| =

1

2

?4?3=6．…（11分）
当AC、BD均不垂直于x轴时，联立

3x2+4y2=12

y=k ( x+1 )

?( 3+4k2) x2+8k2x+4k2-12=0，…（12分）|BD| =

1+k2

?|x1-x2| =

1+k2

?

144 ( 1+k2)

3+4k2

=

12 ( 1+k2)

3+4k2

，同理可得|AC| =

12 ( k2+1 )

3k2+4

．…（14分）S=

1

2

|BD|?|AC| =

72 ( k2+1 )2

( 3+4k2) ( 3k2+4 )

≥

72 ( k2+1 )2

(

7k2+7

2

)2

=

288

49

，当且仅当k²=1时，Smin=

288

49

．（15分）
又6＞

288

49

，∴四边形ABCD面积的最小值为

288

49

．…（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知动圆M和圆C1：（x+1）2+y2=9内切，并和圆C2：（x-1）2+y2=1外切．（1..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：