计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ（λ＜1），画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如-数学试题及答案

1、试题题目：计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ（λ＜1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-06 07:30:00

试题原文

计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm²，画面的宽与高的比为λ（λ＜1），画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈[

2

3

，

3

4

]，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？

试题来源：广东试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：基本不等式及其应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设画面高为xcm，宽为λxcm，
则λx²=4840
设纸张面积为S，则有
S=（x+16）（λx+10）=λx²+（16λ+10）x+160，
将x=

22

10

λ

代入上式得
S=5000+44

10

(8

λ

+

5

λ

)
当8

λ

=

5

λ

，即λ=

5

8

(

5

8

＜1)时，
S取得最小值，
此时高：x=

4840

λ

=88cm，
宽：λx=

5

8

×88=55cm
如果λ∈[

2

3

，

3

4

]，
可设

2

3

≤λ1＜λ2≤

3

4

，
则由S的表达式得
S（λ₁）-S（λ₂）
=44

10

(8

λ1

+

5

λ1

-8

λ2

-

5

λ2

)
=44

10

(

λ1

-

λ2

)(8-

5

λ11λ2

)
由于

λ1λ2

≥

2

3

＞

5

8

，故8-

5

λ1λ2

＞0
因此S（λ₁）-S（λ₂）＜0，
所以S（λ）在区间[

2

3

，

3

4

]内单调递增．
从而，对于λ∈[

2

3

，

3

4

]，
当λ=

2

3

时，S（λ）取得最小值
答：画面高为88cm、宽为55cm时，
所用纸张面积最小；
如果要求λ∈[

2

3

，

3

4

]，当λ=

2

3

时，
所用纸张面积最小．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ（λ＜1..”的主要目的是检查您对于考点“高中基本不等式及其应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中基本不等式及其应用”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：