过P（2，1）作直线L与x轴正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，设∠BAO=2α（O为坐标原点），当△AOB的周长最小时，cotα=_____

1、试题题目：过P（2，1）作直线L与x轴正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，设..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-06 07:30:00

试题原文

过P（2，1）作直线L与x轴正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，设∠BAO=2α（O为坐标原点），当△AOB的周长最小时，cotα=______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：偏易适用学段：高中考察重点：基本不等式及其应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由题意，△AOB的周长可表示为OA+OB+PA+PB=2+cot2α+1+2tan2α+

1

sin2α

+

2

cos2α

令tan2α=t，则周长为y=3+

1

t

+2t+

t2+1

t

+ 2

t2+1

y/=-

1

t2

+2-

1

t2

t2+1

+

2t

t2+1

令y′=0，可得t=

3

4

∵函数在区间（0，

3

4

）上单调减，在（

3

4

，+∞）上单调增，
∴函数在t=

3

4

时，取得极小值，且为最小值．
∴当tan2α=

3

4

时，周长最小
∴

2 tanα

1-tan2α

=

3

4

∴tanα=

1

3

∴cotα=3
故答案为：3

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“过P（2，1）作直线L与x轴正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，设..”的主要目的是检查您对于考点“高中基本不等式及其应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中基本不等式及其应用”。

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