设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，点（n，Snn）都在函数f（x）=x+an2x的图象上．（1）求a1，a2，a3的值，猜想an的表达式，并证明你的猜想．（2）设An为数列{an-1an}的前n项积，是-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，点（n，Snn）都在函数f（x）=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N*，点（n，

Sn

n

）都在函数f（x）=x+

an

2x

的图象上．
（1）求a₁，a₂，a₃的值，猜想a_n的表达式，并证明你的猜想．
（2）设A_n为数列{

an-1

an

}的前n项积，是否存在实数a，使得不等式A_n

an+1

＜f(a)-

an+3

2a

对一切n∈N*都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．

试题来源：衡阳模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵点（n，

Sn

n

）都在函数f（x）=x+

an

2x

的图象上，故

Sn

n

=n+

an

2n

．
∴S_n=n²+

1

2

a_n，令n=1得a₁=1+

1

2

a₁，∴a₁=2
令n=2得a₁+a₂=4+

1

2

a₂，∴a₂=4
令n=3得a₁+a₂+a₃=9+

1

2

a₃，∴a₃=6
由此猜想：a_n=2n（n∈N*），（2分）
下面用数字归纳法证明：
①当n=1时，由上面的求解知，猜想成立．（3分）
②假设n=k时猜想成立，即a_k=2k成立，
那么，当n=k+1时，由条件知，S_k=k²+

1

2

a_k，S_k+1=（k+1）²+

1

2

a_k+1，
两式相减，得a_k+1=2k+1+

1

2

a_k+1-

1

2

a_k，
∴a_k+1=4k+2-a_k=4k+2-2k=2（k+1）
即当n=k+1时，猜想成立．
根据①、②知，对一切n∈N*，a_n=2n成立．（6分）
（2）∵

an-1

an

=1-

1

an

，故A_n=（1-

1

a1

）（1-

1

a2

）（1-

1

an

），
∴A_n

an+1

=（1-

1

a1

）（1-

1

a2

）（1-

1

an

）

2n+1

又f（a）-

an+3

2a

=a+

an

2a

-

an+3

2a

=a-

3

2a

故A_n

an+1

＜f（a）-

an+3

2a

对一切n∈N*都成立，就是
（1-

1

a1

）（1-

1

a2

）（1-

1

an

）?

2n+1

＜a-

3

2a

对一切n∈N*都成立．（8分）
设g（n）=（1-

1

a1

）（1-

1

a2

）（1-

1

an

）

2n+1

，则只需g（n）_max＜a-

3

2a

即可．（9分）
由于

g(n+1)

g(n)

=（1-

1

an+1

）?

2n+3

2n+1

=

2n+1

2n+2

?

2n+3

2n+1

=

4n2+8n+3

4n2+8n+4

＜1
∴g（n+1）＜g（n），故g（n）是单调递减，
于是g（n）_max=g（1）=

3

2

，（12分）
由

3

2

＜a-

3

2a

得

(a-

3

)(2a+

3

)

a

＞0解得-

3

2

＜a＜0或a＞

3

．
综上所述，使得所给不等式对一切n∈N*都成立的实数a存在，且a的取值范围为（-

3

2

，0）∪（

3

，+∞）．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，点（n，Snn）都在函数f（x）=..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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