设Sn是正项数列{an的前n项和，且Sn=14an2+12an-34．（1）求数列{an}的通项公式；（2）是否存在等比数列{bn}，使a1b1+a2b2+…+anbn=（2n-1）?2n+1+2对一切正整数n都成立？并证明你的结-数学试题及答案

1、试题题目：设Sn是正项数列{an的前n项和，且Sn=14an2+12an-34．（1）求数列{an}..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-06 07:30:00

试题原文

设S_n是正项数列{a_n的前n项和，且Sn=

1

4

an2+

1

2

an-

3

4

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在等比数列{b_n}，使 a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n-1）?2ⁿ⁺¹+2 对一切正整数n都成立？并证明你的结论．
（3）设

Cn

=

1

1+an

(n∈N*)，且数列{C_n}的前n项和为T_n，试比较与

1

6

的大小．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由S_n=

1

4

an2+

1

2

a_n-

3

4

得S_n+1=

1

4

an+12+

1

2

an+1-

3

4

，
相减并整理得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0
又由于a_n+1+a_n＞0，则a_n+1=a_n+2，故{a_n}是等差数列．
∵a1=S1=

1

4

a12+

1

2

a₁²-

3

4

＞0，所以a₁=3
故a_n=2n+1 …4分
（2）当n=1，2时，a₁b₁=2²（2×1-1）+2=6，
a₁b₁+a₂b₂=2³（2×2-1）+2=26，可解得b₁=2，b₂=4，猜想b_n=2ⁿ，使a₁b₁+a₂b₂+…
+a_nb_n=2ⁿ⁺¹（2n-1）+2成立．
证明：3?2+5?2²+7?2³+…+（2n+1）2ⁿ=2ⁿ⁺¹（2n-1）+2恒成立．
令S=3?2+5?2²+7?2³+…+（2n+1）2ⁿ ①
2S=3?2²+5?2³+7?2⁴+…+（2n+1）2ⁿ⁺¹ ②
②-①得：S=（2n+1）2ⁿ⁺¹-2?2ⁿ⁺¹+2=（2n-1）2ⁿ⁺¹+2，
故存在等比数列{b_n}符合题意…8分
（3）C_n=

1

(2n+2)2

＜

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

）
则T_n=c₁+c₂+…+c_n＜

1

2

（

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

）=

1

2

（

1

3

-

1

2n+3

）＜

1

6

故Tn＜

1

6

…12分

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设Sn是正项数列{an的前n项和，且Sn=14an2+12an-34．（1）求数列{an}..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：