设{a}是正数数列，其前n项和Sn满足Sn=14（an-1）（an+3）．（1）求a1的值；求数列{an}的通项公式；（2）对于数列{bn}，令bn=1sn，Tn是数列{bn}的前n项和，求limn→∞Tn．-数学试题及答案

1、试题题目：设{a}是正数数列，其前n项和Sn满足Sn=14（an-1）（an+3）．（1）求a1的值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-06 07:30:00

试题原文

设{a}是正数数列，其前n项和S_n满足S_n=

1

4

（a_n-1）（a_n+3）．
（1）求a₁的值；求数列{a_n}的通项公式；
（2）对于数列{b_n}，令b_n=

1

sn

，T_n是数列{b_n}的前n项和，求

lim

n→∞

T_n．

试题来源：宣武区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由a₁=S₁=

1

4

(a1-1)(a1+3)，及a_n＞0，得a₁=3
由Sn=

1

4

(an-1)(an+3)得Sn-1=

1

4

(an-1-1)(an-1+3)．
∴当n≥2时，an=

1

4

(

a

2n

-

a

2n-1

)+2(an-an-1)
∴2（a_n+a_n-1）=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）∵a_n+a_n-1＞0∴a_n-a_n-1=2，
∴{a_n}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴a_n=2n+1
（2）由（1）知S_n=n（n+2）∴bn=

1

Sn

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

++

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

[

3

2

-

2n+3

(n+1)(n+2)

]=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

∴

lim

n→∞

Tn=

lim

n→∞

[

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

]=

3

4

(13分)
由

an+bn

2

＜0，得a1+(b1-a1)?(

1

2

)n＜0
得

a1+b1

2n

＜-a，得

b1-a1

-a1

＜2n
∴log2

a1-b1

a1

＜n
因而n满足log2

a1-b1

a1

＜n的最小整数（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设{a}是正数数列，其前n项和Sn满足Sn=14（an-1）（an+3）．（1）求a1的值..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：