已知数列{bn}是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=145．（1）求数列{bn}的通项bn；（2）设数列{an}的通项an=loga（1+1bn）（其中a＞0，且a≠1），记Sn是数列{an}的前n项和．试比较Sn与13logab-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{bn}是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=145．（1）求数列{bn}的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-06 07:30:00

试题原文

已知数列{b_n}是等差数列，b₁=1，b₁+b₂+…+b₁₀=145．
（1）求数列{b_n}的通项b_n；
（2）设数列{a_n}的通项a_n=log_a（1+

1

bn

）（其中a＞0，且a≠1），记S_n是数列{a_n}的前n项和．试比较S_n与

1

3

log_ab_n+1的大小，并证明你的结论．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设数列{b_n}的公差为d，由题意得

b1=1

10b1+

10(10-1)

2

d=145.

解得

b1=1

d=3.

所以b_n=3_n-2．
（2）由b_n=3_n-2，知
S_n=log_a（1+1）+log_a（1+

1

4

）++log_a（1+

1

3n-2

）
=log_a[（1+1）（1+

1

4

）（1+

1

3n-2

）]，

1

3

log_ab_n+1=log_a

3	3n+1

．
因此要比较S_n与

1

3

log_ab_n+1的大小，可先比较（1+1）（1+

1

4

）（1+

1

3n-2

）与

3	3n+1

的大小．
取n=1有（1+1）＞

3	3?1+1

，
取n=2有（1+1）（1+

1

4

）＞

3	3?2+1

，
由此推测（1+1）（1+

1

4

）（1+

1

3n-2

）＞

3	3n+1

．①
若①式成立，则由对数函数性质可断定：
当a＞1时，S_n＞

1

3

log_ab_n+1．
当0＜a＜1时，S_n＜

1

3

log_ab_n+1．
下面用数学归纳法证明①式．
（ⅰ）当n=1时已验证①式成立．
（ⅱ）假设当n=k（k≥1）时，①式成立，即
（1+1）（1+

1

4

）（1+

1

3k-2

）＞

3	3k+1

．
那么，当n=k+1时，
（1+1）（1+

1

4

）（1+

1

3k-2

）（1+

1

3(k+1)-2

）＞

3	3k+1

（1+

1

3k+1

）
=

3	3k+1

3k+1

（3k+2）．
因为[

3	3k+1

3k+1

(3k+2)]3-[

3	3k+4

]3=

(3k+2)3-(3k+4)(3k+1)2

(3k+1)2

=

9k+4

(3k+1)2

＞0，
所以

3	3k+1

3k+1

（3k+2）＞

3	3k+4

=

3	3(k+1)+1

．
因而（1+1）（1+

1

4

）（1+

1

3k-2

）（1+

1

3k+1

）＞

3	3(k+1)+1

．
这就是说①式当n=k+1时也成立．
由（ⅰ），（ⅱ）知①式对任何正整数n都成立．
由此证得：
当a＞1时，S_n＞

1

3

log_ab_n+1．
当0＜a＜1时，S_n＜

1

3

log_ab_n+1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{bn}是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=145．（1）求数列{bn}的..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：