已知f（x）=（x-1）2，数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列；{bn}是首项为b1，公比为q（q∈R且q≠1）的等比数列，且满足a1=f（d-1），a3=f（d+1），b1=f（q+1），b3=f（q-1）．（Ⅰ）求数列{a-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=（x-1）2，数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列；{bn}..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-06 07:30:00

试题原文

已知f（x）=（x-1）²，数列{a_n}是首项为a₁，公差为d的等差数列；{b_n}是首项为b₁，公比为q（q∈R且q≠1）的等比数列，且满足a₁=f（d-1），a₃=f（d+1），b₁=f（q+1），b₃=f（q-1）．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若存在c_n=a_n?b_n（n∈N^*），试求数列{c_n}的前n项和；
（Ⅲ）是否存在数列{d_n}，使得d1=a2，dn=

bn

4

-2dn-1对一切大于1的正整数n都成立，若存在，求出{d_n}；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意可得，a₃-a₁=d²-（d-2）²=2d
∴d=2
由等差数列的通项公式可得，a_n=2n-2（n∈N^*）；
∵b₃=（q-2）²=q²?q²∴q²±q?2=0∴q=-2
∴b_n=（-2）ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（Ⅱ）由（I）可得，C_n=a_n?b_n=2（n-1）?（-2）ⁿ⁺¹
∴S_n=2×0×（-2）²+2×1×（-2）³+2（n-1）×（-2）ⁿ⁺¹
-2S_n=2×0×（-2）³+2×1×（-2）⁴+…+（2（n-1）?（-2）ⁿ⁺²
错位相减法，可得3Sn=

2

3

[(-2)3-(-2)n+2]-(2n-2)?(-2)n+2?Sn=

(4-6n)?(-2)n+2-16

9

（Ⅲ）假设存在满足条件的数列{d_n}，则有d₁=a₂=2，且有dn=

(-2)n+1

4

-2dn-1
d_n=（-2）^n-1-2d_n-1，两边同除以（-2）^n-1可得

-2dn

(-2)n

=1-

2dn-1

(-2)n-1

令

dn

(-2)n

=An，则有-2An=1-2An-1?An-An-1=-

1

2

故{A_n}是首项为-1，公差为-

1

2

的等差数列，则An=-1+(n-1)(-

1

2

)=-

1

2

(n+1)，
故d_n=（n+1）（-2）^n-1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=（x-1）2，数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列；{bn}..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

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