已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，Sn=nan-n（n-1），n∈N*，令bn=1an?an+1，且数列{bn}的前项和为Tn．（1）求证：数列{an}为等差数列，并写出an关于n的表达式；（2）若不等式λTn＜n-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，Sn=nan-n（n-1），n∈N*，令bn..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-07 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=1，S_n=na_n-n（n-1），n∈N^*，令bn=

1

an?an+1

，且数列{b_n}的前项和为T_n．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列，并写出a_n关于n的表达式；
（2）若不等式λTn＜

n+8

5

（λ为常数）对任意正整数n均成立，求λ的取值范围；
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由S_n=na_n-n（n-1），n∈N*①
则当n≥2时，S_n-1=（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2）②
①-②，得a_n=[na_n-n（n-1）]-[（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2）]
整理得，a_n-a_n-1=2（n≥2）…（3分）
所以，{a_n}为等差数列，且公差为2，a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）bn=

1

an?an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

若不等式λTn＜

n+8

5

对任意正整数n均成立，则λ＜

1

5

?

(2n+1)(n+8)

n

=

1

5

[2(n+

4

n

)+17]对任意正整数n均成立，
∵n+

4

n

≥4，当且仅当n=2∈N*时取“=”，
∴

1

5

[2(n+

4

n

)+17]的最大值为5∴λ＜5；
（3）假设存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列
则（T_m）²=T₁?T_n，即(

m

2m+1

)2=

1

3

?

n

2n+1

所以，

m2

4m2+4m+1

=

n

6n+3

从而，

4m2+4m+1

m2

=

6n+3

n

=6+

3

n

＞6
所以，2m²-4m-1＜0，即1-

6

2

＜m＜1+

6

2

因为，m∈N*，且m＞1，∴m=2，此时，n=12
故，当且仅当m=2，n=12时，使得T₁，T_m，T_n成等比数列．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，Sn=nan-n（n-1），n∈N*，令bn..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：