在等差数列{an}中，a1+a2=5，a3=7，记数列{1anan+1}的前n项和为Sn．（1）求数列{an}的通项公式；（2）是否存在正整数m、n，且1＜m＜n，使得S1、SntSn成等比数列？若存在，求出所有符-数学试题及答案

1、试题题目：在等差数列{an}中，a1+a2=5，a3=7，记数列{1anan+1}的前n项和为S..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-08 07:30:00

试题原文

在等差数列{a_n}中，a₁+a₂=5，a₃=7，记数列{

1

anan+1

}的前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在正整数m、n，且1＜m＜n，使得S₁、S_ntS_n成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m，n值；若不存在，请说明理由．

试题来源：广州二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，因为

a1+a2=-5

a3=7

，即

2a1+d=5

a1+2d=7

…2
解得

a1=1

d=3

…3
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+3（n-1）=3n-2
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=3n-2（n∈N^*）…4
（2）∵

1

anan+1

=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

）…5
∴数列{

1

anan+1

}的前n项和
S_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

3

（1-

1

4

）+

1

3

（

1

4

-

1

7

）+

1

3

（

1

7

-

1

10

）+…+

1

3

（

1

3n-5

-

1

3n-2

）+

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

）
=

1

3

（1-

1

3n+1

）=

n

3n+1

…7
假设存在正整数m、n，且1＜m＜n，使得S₁、S_m、S_n成等比数列，
则Sm2=S₁?S_n…8
即(

m

3m+1

)2=

1

4

×

n

3n+1

…9
∴n=

4m2

-3m2+6m+1

，
因为n＞0，所以-3m²+6m+1＞0，即3m²-6m-1＜0，
因为m＞1，所以1＜m＜1+

2

3

＜3，
因为m∈N^*，所以m=2…12
∴存在满意的正整数m=2，n=16，且只有一组解，即数m=2，n=16．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在等差数列{an}中，a1+a2=5，a3=7，记数列{1anan+1}的前n项和为S..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：