已知f（x）=ax+bx2+1为定义在R上的奇函数，且f（1）=12（1）求f（x）的解析式；（2）判断并证明y=f（x）在（-1，0）上的单调性．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=ax+bx2+1为定义在R上的奇函数，且f（1）=12（1）求f（x）的解..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

已知f（x）=

ax+b

x2+1

为定义在R上的奇函数，且f（1）=

1

2

（1）求f（x）的解析式；
（2）判断并证明y=f（x）在（-1，0）上的单调性．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为f（x）=

ax+b

x2+1

为定义在R上的奇函数，且f（1）=

1

2

，
所以

f(0)=0

f(1)=

1

2

，即

b=0

a+b

2

=

1

2

，解得：

a=1

b=0

．
所以，f（x）=

x

x2+1

．
（2）f(x)=

x

x2+1

在（-1，0）上为单调增函数．
证明：任取x₁，x₂∈（-1，0）且x₁＜x₂
则f(x1)-f(x2)=

x1

x12+1

-

x2

x22+1

=

x1x22+x1-x2x12-x2

(x12+1)(x22+1)

=

(1-x1x2)(x1-x2)

(x12+1)(x22+1)

．
因为x₁，x₂∈（-1，0）且x₁＜x₂，
所以1-x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0．
所以，f(x1)-f(x2)=

(1-x1x2)(x1-x2)

(x12+1)(x22+1)

＜0．
即f（x₁）＜f（x₂）．
所以，函数y=f（x）在（-1，0）上的单调递增．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=ax+bx2+1为定义在R上的奇函数，且f（1）=12（1）求f（x）的解..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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