已知函数f（x）=（x2-3x+3）ex定义域为[-2，t]（t＞-2），设f（-2）=m，f（t）=n。（I）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数；（II）求证：n＞m；（III）求证：对于任意的t＞-2-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=（x2-3x+3）ex定义域为[-2，t]（t＞-2），设..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=（x²-3x+3）e^x定义域为[-2，t]（t＞-2），设f（-2）=m，f（t）=n。
（I）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数；
（II）求证：n＞m；
（III）求证：对于任意的t＞-2，总存x₀∈（-2，t），满足

，并确定这样的x₀的个数。

试题来源：湖南省月考题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（I）因为f′（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x，
由f′（x）＞0

x＞1或x＜0，
由f′（x）＜0

0＜x＜1，
∴函数f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增，
在（0，1）上单调递减，
∵函数f（x）在[-2，t]上为单调函数，
∴-2＜t≤0，
（II）证：因为函数f（x）在（-∞，0）∪（1，+∞）上单调递增，
在（0，1）上单调递减，
所以f（x）在x=1处取得极小值e，
又f（-2）=13e^-2＜e，
所以f（x）在[2，+∞）上的最小值为f（-2），
从而当t＞-2时，f（-2）＜f（t），即m＜n；
（III）证：因为

，
∴

，
即为x₀²-x₀=

，
令g（x）=x²-x-

，
从而问题转化为证明方程g（x）=

=0在（-2，t）上有解并讨论解的个数，
因为g（-2）=6-

（t-1）²=-

，
g（t）=t（t-1）-

=

，
所以当t＞4或-2＜t＜1时，g（-2）g（t）＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解，
当1＜t＜4时，g（-2）＞0且g（t）＞0，
但由于g（0）=-

＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有两解，
当t=1时，g（x）=x²-x=0，解得x=0或1，
所以g（x）=0在（-2，t）上有且只有一解，
当t=4时，g（x）=x²-x-6=0，
所以g（x）=0在（-2，t）上也有且只有一解，
综上所述，对于任意的t＞-2，总存在x₀∈（-2，t），满足

，
且当t≥4或-2＜t≤1时，有唯一的x₀适合题意，
当1＜t＜4时，有两个x₀适合题意。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=（x2-3x+3）ex定义域为[-2，t]（t＞-2），设..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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