设函数，其中常数a＞1，f（x）=13x3-（1+a）x2+4ax+24a（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数，其中常数a＞1，f（x）=13x3-（1+a）x2+4ax+24a（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

设函数，其中常数a＞1，f（x）=

1

3

x³-（1+a）x²+4ax+24a
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f'（x）=x²-2（1+a）x+4a=（x-2）（x-2a）
由a＞1知，当x＜2时，f'（x）＞0，
故f（x）在区间（-∞，2）是增函数；
当2＜x＜2a时，f'（x）＜0，
故f（x）在区间（2，2a）是减函数；
当x＞2a时，f'（x）＞0，
故f（x）在区间（2a，+∞）是增函数．
综上，当a＞1时，f（x）在区间（-∞，2）和（2a，+∞）是增函数，
在区间（2，2a）是减函数．
（2）由（1）知，当x≥0时，f（x）在x=2a或x=0处取得最小值．
f(2a)=

1

3

(2a)3-(1+a)(2a)2+4a?2a+24a=-

4

3

a3+4a2+24a，f（0）=24a
由假设知

a＞1

f(2a)＞0

f(0)＞0

即

a＞1

-

4

3

a(a+3)(a-6)＞0

24a＞0.

解得1＜a＜6
故a的取值范围是（1，6）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数，其中常数a＞1，f（x）=13x3-（1+a）x2+4ax+24a（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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