已知函数f（x）=alnx+bx2图象上点P（1，f（1））处的切线方程为2x-y-3=0．（I）求函数y=f（x）的解析式；（II）函数g（x）=f（x）+m-ln4，若方程g（x）=0在[1e，2]上恰有两解，求实数m的取值范围-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=alnx+bx2图象上点P（1，f（1））处的切线方程为2x-y-3=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=alnx+bx²图象上点P（1，f（1））处的切线方程为2x-y-3=0．
（I）求函数y=f（x）的解析式；
（II）函数g（x）=f（x）+m-ln4，若方程g（x）=0在[

1

e

，2]上恰有两解，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）求导函数可得f′(x)=

a

x

+2bx（x＞0）
∵函数f（x）=alnx+bx²图象上点P（1，f（1））处的切线方程为2x-y-3=0
∴f′（1）=2，f（1）=-1
∴

a+2b=2

b=-1

∴a=4，b=-1
∴f（x）=4lnx-x²；
（II）函数g（x）=f（x）+m-ln4=4lnx-x²+m-ln4（x＞0），则g′(x)=

4

x

-2x（x＞0）
∴当x∈[

1

e

，

2

)时，g′（x）＞0；当x∈(

2

，2]时，g′（x）＜0；
∴函数在[

1

e

，

2

)上单调增，在(

2

，2]上单调减
∵方程g（x）=0在[

1

e

，2]上恰有两解，
∴g(

1

e

)≤0，g(

2

)＞0，g(2)≤0
∴

-4-

1

e2

+m-ln4≤0

-2+m＞0

4ln2-4+m-ln4≤0

解得2＜m≤4-2ln2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=alnx+bx2图象上点P（1，f（1））处的切线方程为2x-y-3=..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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