若关于x的方程4x+（a+3）?2x+5=0至少有一个实根在区间[1，2]内，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：若关于x的方程4x+（a+3）?2x+5=0至少有一个实根在区间[1，2]内，求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

若关于x的方程4^x+（a+3）?2^x+5=0至少有一个实根在区间[1，2]内，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵x∈[1，2]，令t=2^x∈[2，4]
关于x的方程4^x+（a+3）?2^x+5=0至少有一个实根在区间[1，2]内
则可得，t²+（a+3）t+5=0（*）至少有一个实根在区间[2，4]内
设f（t）=t²+（a+3）t+5在[2，4]上至少有一个零点
△=（a+3）²-20
（1）若（*）只有一个根，则△=（a+3）²-20=0可得a=-3±2

5

当a=-3+2

5

时，方程的根t=-

5

?[2，4]舍去
当a=-3-2

5

时，方程的根t=

5

∈[2，4]满足条件
（2）若（*）有两个跟，不妨设为t₁＜t₂，，则△=（a+3）²-20＞0，可得a＞=-3+2

5

或a＜-3-2

5

①若两根t₁，t₂∈[2，4]，则

2＜-

a+3

2

＜4

f(2)=2a+15≥0

f(4)=4a+33≥0

解可得，-

15

2

≤a≤-7，又a＞=-3+2

5

或a＜-3-2

5

从而有-

15

2

≤a＜-3-2

5

满足条件
②若t₁∈[2，4]，t₂?[2，4]，则

-

a+3

2

≥4

f(2)=2a+15≥0

f(4)=4a+33≤0

，解可得，a不存在
③若t₁?[2，4]，t₂∈[1，4]，则

-

a+3

2

≤2

f(2)=2a+15≤0

f(4)=4a+33≥0

，解可得，a不存在
综上可得，-

15

2

≤a≤-3-2

5

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“若关于x的方程4x+（a+3）?2x+5=0至少有一个实根在区间[1，2]内，求..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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