设函数f（x）=（x+a）1nx-x+a，a∈R．（Ⅰ）设g（x）=f′（x），求函数g（x）的极值；（Ⅱ）若a≥1e，试研究函数f（x）=（x+a）1nx-x+a的零点个数．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=（x+a）1nx-x+a，a∈R．（Ⅰ）设g（x）=f′（x），求函数g（x）的极..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=（x+a）1nx-x+a，a∈R．
（Ⅰ）设g（x）=f′（x），求函数g（x）的极值；
（Ⅱ）若a≥

1

e

，试研究函数f（x）=（x+a）1nx-x+a的零点个数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f（x）=（x+a）1nx-x+a，a∈R，
∴g（x）=f′（x）=lnx+

a

x

，x＞0．
∴g′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

，
①当a≤0时，g′（x）＞0恒成立，
g（x）在（0，+∞）上是增函数，无极值．
②当a＞0时，x=a，
当x∈（0，a）时，g（x）单调递减；当x∈（a，+∞）时，g（x）单调递增，
∴g（x）的极小值g（a）=lna+1，无极大值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）的极小值g（a）=lna+1≥ln

1

e

+1=0，
∴g（x）_min≥0，即f′（x）≥0恒成立．
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∵f（

1

e

）=（

1

e

+a）ln

1

e

-

1

e

+a
=-

1

e

-a-

1

e

+a=-

2

e

＜0，
f（e）=（e+a）lne-e+a
=e+a-e+a=2a≥

2

e

＞0，
∴f（x）在（

1

e

，e）中有一个零点，
∴函数f（x）=（x+a）1nx-x+a的零点个数为1个．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=（x+a）1nx-x+a，a∈R．（Ⅰ）设g（x）=f′（x），求函数g（x）的极..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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